15.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　 　.

三.解答题(共8小题，满分73分)

16.(7分)计算： ﹣|1﹣ |﹣sin30°+2﹣1.

17.(9分)已知a、b、c是等腰三角形ABC的三条边，其中a=3，如果b，c是关于x的一元二次方程x2﹣9x+m=0的两个根，求m的值.

18.(9分)不透明的袋中装有1个红球与2个白球，这些球除颜色外都相同，将其搅 匀.

(1)从中摸出1个球，恰为红球的概率等于　 　;

(2)从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是多少?(用画树状图或列表的方法写出分析过程)

19.(9分)某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为45°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为60°，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米， ≈1.732， ≈1.414)

20.(9分)如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C.

(1)求证：AE与⊙O相切于点A;

(2)若AE∥BC，BC=2 ，AC=2 ，求AD的长.

21.(10分)如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式;

(2)该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

22.(8分)今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本.已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元.请解答以下问题：

(1)填空：每天可售出书　 　本(用含x的代数式表示);

(2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元?

23.(12分)如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0).抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

②当S最大时，在 抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在，请说明理由.

参考答案

一.选择题

1.解：由题意，得

x﹣3≥0，

解得x≥3，

故选：C.

2.解：由原方程移项，得

x2+6x=5，

等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即32，得

x2+6x+9=5+9，

∴(x+3)2=14.

故选：A.

3.解：∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2x+1=0有实数根，

∴ ，

解得：m≤2且m≠1.

故选：C.

4.解：∵∠C=90°，∠B=60°，

∴∠A=30°，

∴BC= AB= ，

∵MN是中位线，

∴MN= BC= ，

故选：B.

5.解：y= x2﹣6x+21

= (x2﹣12x)+21

= [(x﹣6)2﹣36]+21

= (x﹣6)2+3，

故y= (x﹣6)2+3，向左平移2个单位后，

得到新抛物线的解析式为：y= (x﹣4)2+3.

故选：D.

6.解：点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，

则点P的对应点的坐标为(m×2，n×2)或(m×(﹣2)，n×(﹣2))，即(2m，2n)或(﹣2m，﹣2n)，

故选：B.

7.解：∵∠APD是△APC的外角，

∴∠APD=∠C+∠A;

∵∠A=30°，∠APD=70°，

∴∠C=∠APD﹣∠A=40°;

∴∠B=∠C=40°;

故选：C.

8.解：A、“打开电视，正在播放新闻节目”是随机事件，此选项说法错误;

B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合采用普查调查方式，此项说法错误;

C 、为了解潜江市4月15日到29日的气温变化情况，适合制作折线统计图，此选项说法正确;

D、对端午节期间市面上粽子质量情况的调查适合采用抽样调查方式，此选项说法错误;

故选：C.

9.解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，

A、C、D图形中的钝角都不等于135°，

由勾股定理得，BC= ，AC=2，

对应的图形B中的边长分别为1和 ，

∵ = ，

∴图B中的三角形(阴影部分 )与△ABC相似，

故选：B.

10.解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，

∴ab<0，

∵与y轴交于负半轴，

∴c<0，

∴abc>0，

故①正确;

②∵a>0，x=﹣ <1，

∴﹣b<2a，

∴2a+b>0，

故②正确;

③∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac>0，

故③正确;

④当x=﹣1时，y>0，

∴a﹣b+c>0，

故④正确.

故选：D.

二.填空题(共5小题，满分15分，每小题3分)

11.解：原式=3 ﹣2 = ，

故答案为： .

12.解：由圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线，

故答案为半径.

13.解：根据乘法公式可得最后二个数字的可能情况有：10×10=100(种)，

∵父亲第一次就拨对这二位数字的情况只有1种，

∴父亲第一次就拨对这二位数字的概率是 .

故答案为： .

14.解：由二次函数y=x2﹣4x﹣1=(x﹣2)2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，

∵1∴A点横坐标离对称轴 的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，

∴y1故答案为：<.

15.解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴DC= AB=1，四边形DMCN是正方形，DM= .

则扇形FDE的面积是： = .

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD平分∠BCA，

又∵DM⊥BC，DN⊥AC，

∴DM=DN，

∵∠GDH=∠MDN=90°，

∴∠GDM=∠HDN，

在△DMG和△DNH中，

，

∴△DMG≌△DNH(AAS)，

∴S四边形DGCH=S四边形DMCN= .

则阴影部分的面积是： ﹣ .

故答案为 ﹣ .

三.解答题(共8小题，满分73分)

16.解：原式=3 ﹣ +1﹣ + =2 +1.

17.解：方程x2﹣9x+m=0，

由根与系数的关系得到： x1+x2=9，

当a为腰长时，则x2﹣9x+m=0的一个根为3，

则另一根为6，

∵3+3=6，

∴不能组成等腰三角形，

当3为底边时，x2﹣9x+m=0有两个相等的实数根，

故b2﹣4ac=81﹣4m=0，

解得：m= ，

方程x2﹣9x+ =0的两根为x1=x2= ，

∵ + >3.

∴能组成等腰三角形，

综上所述，m的值是 .

18.解：(1)从中摸出1个球，恰为红球的概率等于 ，

故答案为： ;

(2)画树状图：

所以共有6种情况，含红球的有4种情况，

所以p= = ，

答：从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是 .

19.解：设AB=x米

∵∠C=45°

∴在Rt△ABC中，BC=AB=x米，

∵∠ADB=60°，

又∵CD=6米，

∴在Rt△ADB中

tan∠ADB=

tan 60°=

解得

答，建筑物的高度为14.2米.

20.证明：(1)连接OA，交BC于F，则OA=OB，

∴∠D=∠DAO，

∵∠D=∠C，

∴∠C=∠DAO，

∵∠BAE=∠C，

∴∠BAE=∠DAO，(2分)

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

即∠DAO+∠BAO=90°，

∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，

∴AE⊥OA，

∴AE与⊙O相切于点A;(4分)

(2)∵AE∥BC，AE⊥OA，

∴OA⊥BC，(5分)

∴ ，FB= BC，

∴AB=AC，

∵BC=2 ，AC=2 ，

∴BF= ，AB=2 ，

在Rt△ABF中，AF= =1，

在Rt△OFB中，OB2=BF2+(OB﹣AF)2，

∴OB=4，(7分)

∴BD=8，

∴在Rt△ABD中，AD= = = =2 .(8分)

21.解：(1)∵当球运行的水平距 离为2.5米时，达到最大高度3.5米，

∴抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，

∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5.

由图知图象过以下点：(1.5，3.05).

∴2.25a+3.5=3.05，

解得：a=﹣0.2，

∴抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5.

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为hm，

∵y=﹣0.2x2+3.5，

而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05)m，

∴h+2.05=﹣ 0.2×(﹣2.5)2+3.5，

∴h=0.2.

答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.

22.解：(1)∵每本书上涨了x元，

∴每天可售出书(300﹣10x)本.

故答案为：(300﹣10x).

(2)设每本书上涨了x元(x≤10)，

根据题意得：(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750，

整理，得：x2﹣20x+75=0，

解得：x1=5，x2=15(不合题意，舍去).

答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元.

23.解：(1)将A、C两点坐标代入抛物线，得

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8;

(2)①∵OA=8，OC=6，

∴AC= =10，

过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB= = = ，

∴ = ，

∴QE= (10﹣m)，

∴S= •CP•QE= m× (10﹣m)=﹣ m2+ 3m;

②∵S= •CP•QE= m× (10﹣m)=﹣ m2+3m=﹣ (m﹣5)2+ ，

∴当m=5时，S取最大值;

在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，

∵抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8的对称轴为x= ，

D的坐标为(3，8)，Q(3，4)，

当∠FDQ=90°时，F1( ，8)，

当∠FQD=90°时，则F2( ，4)，

当∠DFQ=90°时，设F( ，n)，

则FD2+FQ2=DQ2，

即 +(8﹣n)2+ +(n﹣4)2=16，

解得：n=6± ，

∴F3( ，6+ )，F4( ，6﹣ )，

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

F1( ，8)，F2( ，4)，F3( ，6+ )，F4( ，6﹣ ).

九年级数学上学期期末试卷阅读

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A )

2.用配方法解方程x2+10x+20=0，则方程可变形为( B )

A.(x+5)2=45 B.(x+5)2=5 C.(x-5)2=45 D.(x-5)2=5

3.下列事件，是必然事件的是( B )

A.掷一枚六个面分别标有1～6的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上

B.在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的生日是同一天

C.从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃

D.任意选择电视的某一频道，正在播放新闻

4.把抛物线y=-x2向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( D )

A.y=-(x-3)2 B.y=-(x+3)2 C.y=-x2-3 D.y=-x2+3

5.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( B )

A.33 B.43

C.53 D.63

6.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( B )

A.2 B.3 C.4 D.5

7.若点A(-2，n)在x轴上，则点B(n-1，n+1)关于原点对称的点的坐标为( C )

A.(1，1) B.(-1，-1)

C.(1，-1) D.(-1，1)

8.以O(2，2)为圆心，3为半径作圆，则⊙O与直线y=kx+15k的位置关系是( A )

A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能

9.关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( C )

A.1 B.0 C.2 D.3

10.如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( D )

A.3π B.32π

C.33π D.233π

二、填空题(每小题3分，共18分)

11.在平面直角坐标系中，点A(1，2)关于原点对称的点为B(a，b)，则a=__-1__.

12.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是________.

13.已知某抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后所得抛物线的解析式为y=x2+2x+3，那么原抛物线的解析式是__y=(x-3)2+4__.

14.如图，在正方形ABCD中，AB=2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点(与点C，D不重合)，连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F.设CM=x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________________.

,第14题图)　　　 ,第15题图)　　　 ,第16题图)

15.如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是__1.5__.

16.如图，已知直线y=-34x+3分别交x轴、y轴于点A，B，P是抛物线y=-12x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=-34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是__-1或4或4+25或4-25__.

三、解答题(共72分)

17.(8分)若方程x2-4x+m=0的一个根为-2，求m和另一个根的值.

【解析】设方程的另外一个根为a，则有a-2=4，-2a=m，解得：a=6，m=-12.

18.(8分)(2018•武汉元调)甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球.甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球;乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球;丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球.从三个盒子中各随机取出一个小球.

(1)请画树状图，列举所有可能出现的结果;

(2)请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率.

【解析】(1)如图所示：

(2)P(取出至少一个红球)=1012=56.

19.(8分)如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=12OB.

(1)求证：AB是⊙O的切线;

(2)若∠ACD=45°，OC=2，求弦AD的长.

【解析】(1)如图，连接OA.∵AC=12OB，OC=CB，∴AC=OC=CB，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线.

(2)如图，连接OD.∵∠DOA=2∠DCA，∠DCA=45°，∴∠DOA=90°.∵OD=OA=OC=2，∴AD=OD2+OA2=22+22=22.

20.(8分)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元.

(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?

(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?

【解析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280(1+x)2=1 280+1 600，解得x=0.5或x=-2.5(舍)，答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1 000×8×400+(a-1 000)×5×400≥5 000 000，解得：a≥1 900，答：今年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励.

21.(8分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10.求CE的长度.

【解析】过点B作DA的垂线交DA的延长线于点M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，在△BEC与△BGM中，BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BGM(SAS)，∴∠MBG=∠CBE，BE=BG.∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=∠MBG+∠ABM=45°，即∠ABE=∠ABG=45°.在△ABE与△ABG中，BE=BG，∠ABE=∠ABGAB=AB，，∴△ABE≌△ABG(SAS)，∴AG=AE=10.设CE=x，则AM=10-x，AD=12-(10-x)=2+x，DE=12-x.在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=(x+2)2+(12-x)2，即x2-10x+24=0，解得：x1=4，x2=6.故CE的长为4或6.

22.(10分)某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元.物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数，且当x=60时，y=80;x=50时，y=100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元.

(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

(2)求该服装店销售这批秋衣日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;

(3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大?最大获利是多少元?

【解析】：(1)设y=kx+b，根据题意得60k+b=80，50k+b=100，解得k=-2，b=200，故y=-2x+200(30≤x≤60).

(2)W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6450=-2(x-65)2+2000.(3)W=-2(x-65)2+2000，∵a=-2<0，30≤x≤60，∴在x取值范围内，W随x的增大而增大，则当x=60时，W有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，为1950元.

23.(10分)如图①，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N，连接PM，PN.

(1)延长MP交CN于点E(如图②).

①求证：△BPM≌△CPE;

②求证：PM=PN;

(2)若直线a绕点A旋转到图③的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由;

(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.

【解析】(1)证明：①∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA=∠CNM=90°，∴BM∥CN，∴∠MBP=∠ECP.又∵P为BC边中点，∴BP=CP.又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE.②∵△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=12ME，在Rt△MNE中，PN=12ME，∴PM=PN.

(2)成立.延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN=∠CNM=90°，∴∠BMN+∠CNM=180°，∴BM∥CN，∴∠MBP=∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP=CP.又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=12ME.在Rt△MNE中，PN=12ME，∴PM=PN.

(3)如图④，四边形MBCN是矩形，根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△MBP≌△NCP，得PM=PN成立.即四边形MBCN是矩形，且PM=PN成立.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC=5.

(1)分别求直线BC和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

【解答】(1)∵C(0，3)，即OC=3，BC=5，∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB=BC2-OC2=4，即B(4，0)，把B与C坐标代入y=kx+n中，得：4k+n=0，n=3，解得：k=-34，n=3.∴直线BC解析式为y=-34x+3.由A(1，0)，B(4，0)，设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4)，把C(0，3)代入得：a=34，则抛物线解析式为y=34x2-154x+3.

(2)存在.如图所示，分两种情况考虑：∵抛物线解析式为y=34x2-154x+3，∴其对称轴为直线x=52.设点P坐标为(52，y)，BC与对称轴交于点Q，可得Q点坐标(52，98)，同时可求得CQ=258，BQ=158.当P1C⊥CB时，△P1BC为直角三角形.P1C2=(52)2+(y-3)2，P1Q=y-98.∵P1Q2=P1C2+CQ2.解得y=193;当P2B⊥BC时，△BCP2为直角三角形.P2B2=(4-52)2+y2，P2Q=98-y，∵P2Q2=P2B2+BQ2，解得y=-2.综上所述，P1(52，193)或P2(52，-2).当点P为直角顶点时，设P(52，y)，∵B(4，0)，C(0，3)，∴BC=5，∴BC2=PC2+PB2，即25=(52)2+(y-3)2+(52-4)2+y2，解得y=3±262，∴P3(52，3+262)，P4(52，3-262).综上所述，P1(52，193)，P2(52，-2)，P3(52，3+262)，P4(52， ).